Точка C-середина отрезка AB, равного 4. Найдите множество точек M,для каждой из которых AM^2-2BM^2+5CM^2=3

Давайте решим задачу шаг за шагом. 1. **Определим точки A, B и C**. Поскольку отрезок AB равен 4, можно взять: - A(0, 0) - B(4, 0) Таким образом, длина отрезка AB равна 4. Теперь находим точку C, которая является серединой отрезка AB: - C = ((0 + 4) / 2, (0 + 0) / 2) = (2, 0) 2. **Определим координаты точки M**. Пусть точка M имеет координаты (x, y). 3. **Найдем расстояния AM, BM и CM**. - Расстояние AM: \[ AM = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} \] - Расстояние BM: \[ BM = \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2} \] - Расстояние CM: \[ CM = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} \] 4. **Подставим эти расстояния в уравнение** \( AM^2 - 2BM^2 + 5CM^2 = 3 \): - Поскольку у нас есть квадратные расстояния, можно избавиться от корней: \[ (x^2 + y^2) - 2((x - 4)^2 + y^2) + 5((x - 2)^2 + y^2) = 3 \] 5. **Раскроем скобки**: - \( AM^2 = x^2 + y^2 \) - \( BM^2 = (x - 4)^2 + y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 \) - \( CM^2 = (x - 2)^2 + y^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 \) Подставим в уравнение: \[ x^2 + y^2 - 2(x^2 - 8x + 16 + y^2) + 5(x^2 - 4x + 4 + y^2) = 3 \] 6. **Упростим**: \[ x^2 + y^2 - 2x^2 + 16x - 32 - 2y^2 + 5x^2 - 20x + 20 + 5y^2 = 3 \] Перегруппируем: \[ (1 - 2 + 5)x^2 + (1 - 2 + 5)y^2 + (16x - 20x) - 32 + 20 = 3 \] Это упрощается до: \[ 4x^2 + 4y^2 - 4x - 12 = 0 \] 7. **Разделим на 4**: \[ x^2 + y^2 - x - 3 = 0 \] 8. **Перепишем уравнение**: \[ x^2 - x + y^2 = 3 \] 9. **Завершим квадрат для x**: \[ (x - 0.5)^2 - 0.25 + y^2 = 3 \] \[ (x - 0.5)^2 + y^2 = 3.25 \] Таким образом, получаем уравнение окружности с центром в точке \( \left(0.5, 0\right) \) и радиусом \( \sqrt{3.25} = \frac{\sqrt{13}}{2} \). Ответ: множество точек M представляет собой окружность с центром в точке \( \left(0.5, 0\right) \) и радиусом \( \frac{\sqrt{13}}{2} \).