Шарик массой 200 г подвешен на пружине и совершает вертикальные затухающие колебания в воде с логарифмическим декрементом 0,05. При этом за 23 с его энергия уменьшается в 10 раз. Найти по этим данным жёсткость пружины. Ответ: к=7,9 Н/м.

Чтобы найти жесткость пружины, давайте рассмотрим основные физические принципы, которые здесь применимы. 1. **Определение логарифмического декремента**: Логарифмическое декремент (δ) описывает, насколько сильно уменьшается амплитуда колебаний за один полный цикл. Он определяется как: $$\delta =\frac{1}{n}\ln \left(\frac{A_1}{A_n}\right)$$ где: - $n$ — количество колебаний, - $A_1$ — начальная амплитуда, - $A_n$ — амплитуда после $n$-го колебания. 2. **Зная, что за 23 секунды энергия уменьшается в 10 раз**, можем записать: $$\frac{E_0}{E}=10,$$ где $E_0$ и $E$ — начальная и конечная энергия. Поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды ( $E\propto A^2$ ), можно написать: $$E\propto A_n^2\text{и}{E}_0\propto A_1^2.$$ Таким образом, у нас: $$\frac{A_1^2}{A_n^2}=10\Rightarrow \frac{A_1}{A_n}=\sqrt{10}\approx 3.16.$$ 3. **Время колебаний**: Чтобы найти количество полных колебаний $n$ за 23 секунды, используем период колебаний $T$: $$n=\frac{23}{T}.$$ 4. **Связь между логарифмическим декрементом и количеством колебаний**: Подставляя значение $A_1$ и $A_n$ в формулу для декремента, имеем: $$0.05=\frac{1}{n}\ln (3.16).$$ Найдем $n$: $$n=\frac{\ln (3.16)}{0.05}.$$ Вычислим: $$\ln (3.16)\approx 1.15\Rightarrow n=\frac{1.15}{0.05}\approx 23.$$ 5. **Период колебаний**: Теперь найдем период $T$: $$T=\frac{23\text{ с}}{23}=1\text{ с}.$$ 6. **Период колебаний в зависимости от жесткости пружины**: Период колебаний для пружинного маятника можно выразить через жесткость $k$: $$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}},$$ где $m$ — масса в кг (переведем 200 г в кг: $m=0.2$ кг). 7. **Подставляем значение T**: $$1=2\pi \sqrt{\frac{0.2}{k}}.$$ Поделим обе стороны на $2\pi$ и возведем в квадрат: $$\frac{1}{(2\pi {)}^2}=\frac{0.2}{k}\Rightarrow k=0.2\times (2\pi {)}^2.$$ Вычисляем $(2\pi {)}^2$: $$(2\pi {)}^2\approx 39.48\Rightarrow k=0.2\times 39.48\approx 7.896\text{ Н/м}.$$ Таким образом, мы нашли значение жесткости пружины: $$k\approx 7.9\text{ Н/м}.$$ Ответ: жёсткость пружины $k=7.9$ Н/м.