Шарик массой 200 г подвешен на пружине и совершает вертикальные затухающие колебания в воде с логарифмическим декрементом 0,05. При этом за 23 с его энергия уменьшается в 10 раз. Найти по этим данным жёсткость пружины. Ответ: к=7,9 Н/м.

Чтобы найти жесткость пружины, давайте рассмотрим основные физические принципы, которые здесь применимы. 1. **Определение логарифмического декремента**: Логарифмическое декремент (δ) описывает, насколько сильно уменьшается амплитуда колебаний за один полный цикл. Он определяется как: \[ \delta = \frac{1}{n} \ln\left(\frac{A_1}{A_n}\right) \] где: - \( n \) — количество колебаний, - \( A_1 \) — начальная амплитуда, - \( A_n \) — амплитуда после \( n \)-го колебания. 2. **Зная, что за 23 секунды энергия уменьшается в 10 раз**, можем записать: \[ \frac{E_0}{E} = 10, \] где \( E_0 \) и \( E \) — начальная и конечная энергия. Поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды ( \( E \propto A^2 \) ), можно написать: \[ E \propto A_n^2 \quad \text{и} \quad E_0 \propto A_1^2. \] Таким образом, у нас: \[ \frac{A_1^2}{A_n^2} = 10 \Rightarrow \frac{A_1}{A_n} = \sqrt{10} \approx 3.16. \] 3. **Время колебаний**: Чтобы найти количество полных колебаний \( n \) за 23 секунды, используем период колебаний \( T \): \[ n = \frac{23}{T}. \] 4. **Связь между логарифмическим декрементом и количеством колебаний**: Подставляя значение \( A_1 \) и \( A_n \) в формулу для декремента, имеем: \[ 0.05 = \frac{1}{n} \ln(3.16). \] Найдем \( n \): \[ n = \frac{\ln(3.16)}{0.05}. \] Вычислим: \[ \ln(3.16) \approx 1.15 \Rightarrow n = \frac{1.15}{0.05} \approx 23. \] 5. **Период колебаний**: Теперь найдем период \( T \): \[ T = \frac{23 \text{ с}}{23} = 1 \text{ с}. \] 6. **Период колебаний в зависимости от жесткости пружины**: Период колебаний для пружинного маятника можно выразить через жесткость \( k \): \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \] где \( m \) — масса в кг (переведем 200 г в кг: \( m = 0.2 \) кг). 7. **Подставляем значение T**: \[ 1 = 2\pi\sqrt{\frac{0.2}{k}}. \] Поделим обе стороны на \( 2\pi \) и возведем в квадрат: \[ \frac{1}{(2\pi)^2} = \frac{0.2}{k} \Rightarrow k = 0.2 \times (2\pi)^2. \] Вычисляем \( (2\pi)^2 \): \[ (2\pi)^2 \approx 39.48 \Rightarrow k = 0.2 \times 39.48 \approx 7.896 \text{ Н/м}. \] Таким образом, мы нашли значение жесткости пружины: \[ k \approx 7.9 \text{ Н/м}. \] Ответ: жёсткость пружины \( k = 7.9 \) Н/м.