Впервой урне 5 белых и 10 чёрных шаров, во второй– 3 белых и 7чёрных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынуты шар–белый.

Давайте решим задачу шаг за шагом, используя математические законы. ### Шаг 1: Определим начальные условия 1. **Первая урна**: - Количество белых шаров \( W_1 = 5 \) - Количество черных шаров \( B_1 = 10 \) - Всего шаров в первой урне: \( N_1 = W_1 + B_1 = 5 + 10 = 15 \) 2. **Вторая урна**: - Количество белых шаров \( W_2 = 3 \) - Количество черных шаров \( B_2 = 7 \) - Всего шаров во второй урне: \( N_2 = W_2 + B_2 = 3 + 7 = 10 \) ### Шаг 2: Переложим шар из второй урны в первую Мы можем переложить либо белый шар, либо черный шар. Рассмотрим оба случая. #### Случай 1: переложен белый шар - После переложки: - Белые шары в первой урне: \( W_1 + 1 = 6 \) - Черные шары в первой урне: \( B_1 = 10 \) - Всего шаров в первой урне: \( N_1' = W_1 + 1 + B_1 = 6 + 10 = 16 \) Вероятность переложить белый шар (из второй урны): \[ P(W) = \frac{W_2}{N_2} = \frac{3}{10} \] Вероятность вынуть белый шар из первой урны в этом случае: \[ P(B | W) = \frac{W_1 + 1}{N_1'} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \] #### Случай 2: переложен черный шар - После переложки: - Белые шары в первой урне: \( W_1 = 5 \) - Черные шары в первой урне: \( B_1 + 1 = 11 \) - Всего шаров в первой урне: \( N_1' = W_1 + B_1 + 1 = 5 + 11 = 16 \) Вероятность переложить черный шар (из второй урны): \[ P(B) = \frac{B_2}{N_2} = \frac{7}{10} \] Вероятность вынуть белый шар из первой урны в этом случае: \[ P(B | B) = \frac{W_1}{N_1'} = \frac{5}{16} \] ### Шаг 3: Вычислим общую вероятность вынуть белый шар Теперь применим формулу полной вероятности, чтобы найти итоговую вероятность вынуть белый шар из первой урны: \[ P(B) = P(B | W) \cdot P(W) + P(B | B) \cdot P(B) \] Подставляем известные значения: \[ P(B) = \left(\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{10}\right) + \left(\frac{5}{16} \cdot \frac{7}{10}\right) \] ### Шаг 4: Упростим выражение 1. **Считаем первую часть**: \[ \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{80} \] 2. **Считаем вторую часть**: \[ \frac{5}{16} \cdot \frac{7}{10} = \frac{35}{160} = \frac{7}{32} \] 3. Теперь приведём вторую дробь к общему знаменателю 80: \[ \frac{7}{32} = \frac{7 \cdot 2.5}{32 \cdot 2.5} = \frac{17.5}{80} = \frac{35}{80} \] 4. Складываем: \[ P(B) = \frac{9}{80} + \frac{35}{80} = \frac{44}{80} = \frac{11}{20} \] ### Шаг 5: Записываем итоговый ответ Вероятность того, что вынутый шар будет белым, равна: \[ \boxed{\frac{11}{20}} \]