В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

Для решения задачи о вероятности того, что две вынимаемые пуговицы будут одноцветными, будем следовать шаг за шагом. **Шаг 1: Определим общее количество пуговиц.** В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц, следовательно: \[ N = 10 + 5 = 15 \] Общее количество пуговиц \( N = 15 \). **Шаг 2: Найдем общее количество способов выбрать 2 пуговицы.** Чтобы найти количество способов выбрать 2 пуговицы из 15, используем формулу комбинаторики: \[ C(N, k) = \frac{N!}{k!(N-k)!} \] где \( N \) — общее количество пуговиц, \( k \) — количество выбираемых пуговиц. В нашем случае: \[ C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105 \] **Шаг 3: Найдем количество способов выбрать 2 красные пуговицы.** Используем ту же формулу: \[ C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \] **Шаг 4: Найдем количество способов выбрать 2 синих пуговицы.** Аналогично, расчет будет: \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] **Шаг 5: Найдем общее количество способов выбрать 2 пуговицы одного цвета.** Сложим количество способов выбрать 2 красные и 2 синие пуговицы: \[ 45 \, (\text{красные}) + 10 \, (\text{синие}) = 55 \] **Шаг 6: Найдем вероятность того, что обе пуговицы будут одного цвета.** Вероятность рассчитывается как отношение числа благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{55}{105} \] **Шаг 7: Упростим дробь.** Чтобы упростить дробь, найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 55 и 105. НОД равен 5. Теперь упростим: \[ \frac{55}{105} = \frac{55 \div 5}{105 \div 5} = \frac{11}{21} \] **Ответ:** Вероятность того, что обе пуговицы будут одного цвета, равна \( \frac{11}{21} \).