В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?

Для решения задачи о вероятности того, что все три выбранных фрукта будут апельсинами, нам нужно использовать формулу вероятности. 1. **Обозначим данные**: В ящике всего 5 апельсинов и 4 яблока. Значит, общее количество фруктов: \[ N = 5 + 4 = 9. \] 2. **Найдем общее количество способов выбрать 3 фрукта из 9**: Используем сочетания, обозначаемые как \( C(n, k) \), где \( n \) — общее количество элементов, а \( k \) — количество выбираемых. Формула сочетаний выглядит так: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \] Для нашего случая: \[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84. \] То есть, всего существует 84 способа выбрать 3 фрукта. 3. **Теперь найдем количество способов выбрать 3 апельсина из 5**: Также используем сочетания: \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10. \] Итак, существует 10 способов выбрать 3 апельсина. 4. **Находим вероятность того, что все три фрукта — апельсины**: Вероятность \( P \) равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P(\text{все три фрукта — апельсины}) = \frac{C(5, 3)}{C(9, 3)} = \frac{10}{84}. \] Упрощаем дробь: \[ \frac{10}{84} = \frac{5}{42}. \] 5. **Проверка**: Давайте проверим этот результат. Мы нашли 10 способов выбрать 3 апельсина и 84 способа выбрать любые 3 фрукта. Делим 10 на 84, получаем \( \frac{5}{42} \). Это соотношение подтверждает, что наша вероятность рассчитана правильно. Итак, окончательный ответ: \[ \text{Вероятность того, что все три фрукта — апельсины} = \frac{5}{42}. \]