В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Для решения задачи о количестве партий, сыгранных на турнире среди 16 участников, воспользуемся комбинаторным методом. 1. **Определим задачу**: Необходимо узнать, сколько партий (матчей) будет сыграно, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия. 2. **Используем комбинации**: Поскольку каждая партия проходит между двумя участниками, задача сводится к выбору 2 участников из 16. Это соответствует известной формуле вычисления количества сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) — общее число участников (в нашем случае 16), \( k \) — число участников в партии (в нашем случае 2). 3. **Подставим значения в формулу**: \[ C(16, 2) = \frac{16!}{2!(16-2)!} \] Упрощаем: \[ C(16, 2) = \frac{16!}{2! \cdot 14!} \] В этом случае, \( 16! \) можно разложить на \( 16 \times 15 \times 14! \), что позволяет нам упростить дробь: \[ C(16, 2) = \frac{16 \times 15 \times 14!}{2! \times 14!} \] Сократим \( 14! \): \[ C(16, 2) = \frac{16 \times 15}{2!} \] 4. **Вычислим \( 2! \)**: \[ 2! = 2 \times 1 = 2 \] 5. **Подставим значение обратно в выражение**: \[ C(16, 2) = \frac{16 \times 15}{2} \] 6. **Теперь вычислим результат**: Сначала перемножим \( 16 \) и \( 15 \): \[ 16 \times 15 = 240 \] 7. **Делим на 2**: \[ C(16, 2) = \frac{240}{2} = 120 \] Таким образом, в турнире, где участвуют 16 человек, будет сыграно **120 партий**.