В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Для решения задачи о количестве партий, сыгранных на турнире среди 16 участников, воспользуемся комбинаторным методом. 1. **Определим задачу**: Необходимо узнать, сколько партий (матчей) будет сыграно, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия. 2. **Используем комбинации**: Поскольку каждая партия проходит между двумя участниками, задача сводится к выбору 2 участников из 16. Это соответствует известной формуле вычисления количества сочетаний: $$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ где $n$ — общее число участников (в нашем случае 16), $k$ — число участников в партии (в нашем случае 2). 3. **Подставим значения в формулу**: $$C(16,2)=\frac{16!}{2!(16-2)!}$$ Упрощаем: $$C(16,2)=\frac{16!}{2!\cdot 14!}$$ В этом случае, $16!$ можно разложить на $16\times 15\times 14!$, что позволяет нам упростить дробь: $$C(16,2)=\frac{16\times 15\times 14!}{2!\times 14!}$$ Сократим $14!$: $$C(16,2)=\frac{16\times 15}{2!}$$ 4. **Вычислим $2!$**: $$2!=2\times 1=2$$ 5. **Подставим значение обратно в выражение**: $$C(16,2)=\frac{16\times 15}{2}$$ 6. **Теперь вычислим результат**: Сначала перемножим $16$ и $15$: $$16\times 15=240$$ 7. **Делим на 2**: $$C(16,2)=\frac{240}{2}=120$$ Таким образом, в турнире, где участвуют 16 человек, будет сыграно **120 партий**.