5. Вычислить периметр и площадь равнобедренного треугольника с углом при основании 45°, если
вершина его совпадает с вершиной параболы у = 16х, а основание лежит на директрисе этой
параболы.​

Для решения задачи начнем с анализа данных. 1. **Определение характеристик параболы**: Дано уравнение параболы \( y = 16x \). Это парабола, открывающаяся вправо. У стандартного уравнения параболы вида \( y = ax^2 \), здесь \( a = 16 \). Директрису параболы можно определить по формуле \( x = -\frac{1}{4a} \). Подставляем \( a = 16 \): \[ x = -\frac{1}{4 \cdot 16} = -\frac{1}{64} \] Таким образом, директрисой этой параболы будет прямая \( x = -\frac{1}{64} \). 2. **Конструкция равнобедренного треугольника**: У треугольника угол при основании 45°. Назовем высоту треугольника \( h \) и длину основания \( b \). Из условия симметрии треугольника, его высота будет равна половине основания. Это происходит, так как треугольник равнобедренный и углы при основании равны. 3. **Определение координат**: Вершина треугольника \( A \) будет находиться на параболе. Назовем координаты \( A(x_A, y_A) \). По уравнению параболы, высота \( h \) равна \( y_A \), а основание треугольника \( b \) будет находиться на директрисе \( x = -\frac{1}{64} \). 4. **Используя тригонометрию**: Для равнобедренного треугольника с углом в 45°, учитывая длину отрезка от вершины до конца основания (разделенный на 2), мы можем записать: \[ b = 2h \] Поскольку один из углов равен 45°, катеты образуют прямой угол. Таким образом, мы можем провести такие расчеты. 5. **Площадь**: Площадь треугольника \( S \) можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2h) \cdot h = h^2 \] 6. **Периметр**: Периметр равнобедренного треугольника \( P \) можно определить как сумму всех его сторон: \[ P = b + 2 \cdot s \] где \( s \) — длина боковой стороны. Для равнобедренного треугольника с высотой \( h \) и основанием \( b \): \[ s = \sqrt{(h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2)} = \sqrt{h^2 + h^2} = \sqrt{2h^2} = h\sqrt{2} \] Подставляем \( b = 2h \): \[ P = 2h + 2h\sqrt{2} \] 7. **Общий результат**: Таким образом, итоговая площадь равнобедренного треугольника: \[ S = h^2 \] и периметр: \[ P = 2h + 2h\sqrt{2} \] Теперь вы можете подставить конкретные значения для \( h \) (высоты), чтобы получить численные результаты для периметра и площади.