y"-10y' 25y=0

Для решения задачи \( y'' - 10y' + 25y = 0 \) мы будем использовать методы теории дифференциальных уравнений. 1. **Определим характеристическое уравнение.** Мы можем предположить, что решение уравнения имеет вид \( y = e^{rt} \), где \( r \) – это корень, который мы будем находить. Подставляя это решение в исходное уравнение, получаем: \[ (r^2 e^{rt}) - 10(re^{rt}) + 25(e^{rt}) = 0 \] Упрощая, получаем характеристическое уравнение: \[ r^2 - 10r + 25 = 0 \] 2. **Решение характеристического уравнения.** Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0 \] Поскольку дискриминант равен нулю, у нас есть один двойной корень: \[ r = \frac{-b}{2a} = \frac{10}{2} = 5 \] 3. **Общее решение дифференциального уравнения.** С учетом двойного корня, общее решение будет иметь вид: \[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{5t} \] где \( C_1 \) и \( C_2 \) – произвольные постоянные, которые будут определяться начальными условиями, если они будут заданы. 4. **Проверка решения.** Чтобы убедиться, что мы получили правильное решение, подставим его обратно в исходное уравнение. a. Найдем производные: \[ y' = C_2 e^{5t} + (C_1 + C_2 t) \cdot 5e^{5t} = (C_2 + 5C_1 + 5C_2 t)e^{5t} \] \[ y'' = (5C_2 + 5(5C_1 + 5C_2 t))e^{5t} = (5C_2 + 25C_1 + 25C_2 t)e^{5t} \] b. Подставляем в уравнение: \[ (5C_2 + 25C_1 + 25C_2 t)e^{5t} - 10(C_2 + 5C_1 + 5C_2 t)e^{5t} + 25(C_1 + C_2 t)e^{5t} = 0 \] c. Упростим выражение: Сложив все термины, получаем: \[ (5C_2 + 25C_1 + 25C_2 t - 10C_2 - 50C_1 - 50C_2 t + 25C_1 + 25C_2 t)e^{5t} = 0 \] Все объединяются в 0: \[ (0)e^{5t} = 0 \] Таким образом, полученное решение проверено и является корректным. **Ответ:** Общее решение: \( y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{5t} \) где \( C_1 \) и \( C_2 \) - произвольные постоянные.