Решим задачу шаг за шагом.
У нас есть выражение: \(\frac{xy}{\sqrt[3]{xy}} \div \left(\frac{y}{x}\right)^{-1}\).
1. **Упрощение деления на дробь**:
Деление на дробь можно переписать как умножение на её обратную. Обратная дробь \(\left(\frac{y}{x}\right)^{-1}\) равна \(\frac{x}{y}\). То есть:
\[
\frac{xy}{\sqrt[3]{xy}} \div \left(\frac{y}{x}\right)^{-1} = \frac{xy}{\sqrt[3]{xy}} \times \frac{x}{y}
\]
2. **Упрощение дроби**:
Теперь запишем выражение:
\[
= \frac{xy \cdot x}{\sqrt[3]{xy} \cdot y} = \frac{x^2y}{\sqrt[3]{xy}y}
\]
Здесь можно сократить \(y\) в числителе и знаменателе:
\[
= \frac{x^2}{\sqrt[3]{xy}}
\]
3. **Запись корня**:
Теперь у нас есть дробь с корнем в знаменателе, который мы можем записать в другом виде:
\(\sqrt[3]{xy} = (xy)^{1/3}\). Заменим в нашем выражении:
\[
= \frac{x^2}{(xy)^{1/3}}
\]
4. **Применение свойств степеней**:
Используем свойство дробей: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):
\[
= x^{2 - \frac{1}{3}} y^{0 - \frac{1}{3}} = x^{\frac{6}{3} - \frac{1}{3}} y^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{3}} y^{-\frac{1}{3}}
\]
Таким образом, итоговое упрощенное выражение:
\[
x^{\frac{5}{3}} y^{-\frac{1}{3}}
\]
5. **Проверка результата**:
Чтобы проверить, верно ли мы упростили выражение, можно вернуться к начальным членам. Если мы начнем с \(\frac{xy}{\sqrt[3]{xy}}\) и деления на \((y/x)^{-1}\), полученное выражение при умножении должно совпадать с полученной формой.
Подытожим, прибор дифференцирует в итоговом результате:
\[
\frac{x^2y}{\sqrt[3]{xy}y} \equiv x^{\frac{5}{3}} y^{-\frac{1}{3}}
\]
Ответ:
\(x^{\frac{5}{3}} y^{-\frac{1}{3}}\)
15
Задай свой вопрос