Найдите наименьшее значение функции
y
=
−
5
x
+
l
n
(
x
+
3
)
5
y=−5x+ln(x+3)
5
на отрезке
[
−
4
,
5
;
0
]
[−4,5;0]. Выберите верный ответ.

Ответ:

5
l
n
5
5ln5


22
22


10
10


2
2

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = -5x + \ln(x + 3) \) на отрезке \([-4, 5]\), нужно выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Определение критических точек Для начала нам нужно найти производную функции \( y \) и определить критические точки, где производная равна нулю или не определена. Вычислим производную: \[ y' = -5 + \frac{1}{x + 3} \] Теперь приравняем производную к нулю: \[ -5 + \frac{1}{x + 3} = 0 \] Переместим \( -5 \) в правую часть: \[ \frac{1}{x + 3} = 5 \] Умножим обе стороны на \( x + 3 \) (где \( x + 3 \neq 0 \)): \[ 1 = 5(x + 3) \] Раскроем скобки: \[ 1 = 5x + 15 \] Переносим 15 в левую часть: \[ 5x = 1 - 15 \] \[ 5x = -14 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{14}{5} = -2.8 \] ### Шаг 2: Определение значений функции в критических точках и на границах Теперь мы должны оценить функцию в критической точке и на границах отрезка: 1. **На границе \( x = -4 \)**: \[ y(-4) = -5(-4) + \ln(-4 + 3) = 20 + \ln(-1) \] Так как \( \ln(-1) \) не определен, функция на \( x = -4 \) не имеет значения. 2. **На границе \( x = 5 \)**: \[ y(5) = -5(5) + \ln(5 + 3) = -25 + \ln(8) \] 3. **Критическая точка \( x = -2.8 \)**: \[ y\left(-\frac{14}{5}\right) = -5\left(-\frac{14}{5}\right) + \ln\left(-\frac{14}{5} + 3\right) \] Сначала вычислим \( \ln\left(-\frac{14}{5} + 3\right) \): \[ -\frac{14}{5} + 3 = -\frac{14}{5} + \frac{15}{5} = \frac{1}{5} \] Теперь подставим обратно в \( y \): \[ y\left(-\frac{14}{5}\right) = 14 + \ln\left(\frac{1}{5}\right) = 14 - \ln(5) \] ### Шаг 3: Сравнение значений Теперь у нас есть: - \( y(-4) \) — не определено. - \( y(5) = -25 + \ln(8) \) - \( y(-2.8) = 14 - \ln(5) \) ### Шаг 4: Сравнение значений Мы теперь сравним значения: 1. \( y(5) = -25 + \ln(8) \approx -25 + 2.079 = -22.921 \) 2. \( y(-2.8) = 14 - \ln(5) \approx 14 - 1.609 = 12.391 \) ### Шаг 5: Вывод Наименьшее значение функции на отрезке \([-4, 5]\) достигается в \( x = 5 \): \[ \text{Наименьшее значение } y \approx -22.921 \] Таким образом, наименьшее значение функции на заданном отрезке: \[ \text{Ответ: } -25 + \ln(8) \] Для окончательного выбора из предложенных вариантов: - 5ln5 - 22 - 10 - 2 Наименьшее значение в этом округлении соответствует \( 22 \). Таким образом, правильный ответ: **22**.