Чтобы решить неравенство
\[
\log_{0.2}(2x) \geq \log_{0.2}(5)
\]
выполним следующие шаги:
### Шаг 1: Понимание свойств логарифмов
Сначала вспомним, что логарифмы имеют несколько важных свойств, в том числе:
- Если \( a < 1 \) и \( x > y \), то \( \log_a(x) < \log_a(y) \).
- Если \( a > 1 \) и \( x > y \), то \( \log_a(x) > \log_a(y) \).
Поскольку основание нашего логарифма \( 0.2 < 1 \), знак неравенства изменится, когда мы будем убирать логарифмы.
### Шаг 2: Преобразование неравенства
Теперь можем убрать логарифмы:
\[
2x \leq 5
\]
### Шаг 3: Упрощение неравенства
Теперь разделим обе стороны на 2:
\[
x \leq \frac{5}{2}
\]
или
\[
x \leq 2.5
\]
### Шаг 4: Ограничения от логарифмов
Также учитываем, что логарифм имеет ограничения: \( 2x > 0 \). Это значит, что:
\[
x > 0
\]
### Шаг 5: Вывод
Таким образом, мы имеем систему:
\[
0 < x \leq 2.5
\]
### Окончательный ответ
Записать это можно в виде:
\[
\{ x \, | \, 0 < x \leq 2.5 \}
\]
Среди предложенных вариантов правильный ответ соответствует ограничению на \( x \):
\[
\{ x \leq 5 \quad | \quad 0 < x \leq 2.5 \}
\]
Однако, истинный диапазон завершается на 2.5.
Проверка:
- Если \( x = 2.5 \), то \( 2x = 5 \), логарифмы равны.
- Если \( x = 1 \), то \( 2x = 2 \), и логарифм меньше.
Таким образом, конечный ответ:
\[
\{ x \leq 5 \, | \, 0 < x < 2.5 \}
\] (где и верхний предел тоже учитывается).
12
Задай свой вопрос