Найдите область определения функции
y
=
log
⁡
0
,
5
(
−

x
2
−
5
x
+
14
)
y=log
0,5
​
(− x
2
−5x+14). Выберите верный вариант ответа.

Ответ:

(
−
∞
;
−
7
)
∪
(
2
;
+
∞
)
(−∞;−7)∪(2;+∞)


(
−
∞
;
−
2
)
∪
(
7
;
+
∞
)
(−∞;−2)∪(7;+∞)


(
−
7
;
2
)
(−7;2)


[
−
7
;
2
]
[−7;2]

Чтобы найти область определения функции \( y = \log_{0.5}(-x^2 - 5x + 14) \), необходимо определить, при каких значениях \( x \) выражение под логарифмом будет положительным, так как логарифм определен только для положительных значений. ### Шаг 1: Найдем область определения для выражения под логарифмом Нам нужно решить неравенство: \[-x^2 - 5x + 14 > 0\] ### Шаг 2: Перепишем неравенство Умножим обе стороны неравенства на -1 (не забудьте поменять знак неравенства): \[x^2 + 5x - 14 < 0\] ### Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] где \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = -14 \). Подставим значения: \[b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\] Теперь найдем корни: \[x = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 \pm 9}{2}\] Получаем два корня: 1. \(x_1 = \frac{4}{2} = 2\) 2. \(x_2 = \frac{-14}{2} = -7\) ### Шаг 4: Определение промежутков Теперь у нас есть корни \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -7 \). Теперь определим знаки выражения \( x^2 + 5x - 14 \) на промежутках \( (-\infty; -7) \), \( (-7; 2) \) и \( (2; +\infty) \). 1. **На промежутке \((-∞, -7)\)**: - Возьмем тестовое значение \( x = -8 \): \[ (-8)^2 + 5(-8) - 14 = 64 - 40 - 14 = 10 > 0 \] 2. **На промежутке \((-7, 2)\)**: - Возьмем тестовое значение \( x = 0 \): \[ 0^2 + 5(0) - 14 = -14 < 0 \] 3. **На промежутке \((2, +∞)\)**: - Возьмем тестовое значение \( x = 3 \): \[ 3^2 + 5(3) - 14 = 9 + 15 - 14 = 10 > 0 \] ### Шаг 5: Запись области определения Выражение \( x^2 + 5x - 14 < 0 \) выполняется в промежутке \((-7; 2)\). ### Шаг 6: Запись окончательного ответа Область определения функции \( y = \log_{0.5}(-x^2 - 5x + 14) \) записывается как: \[ (-7; 2) \] Это значит, что правильный вариант ответа - \((-7; 2)\).