14.1. Мальчик, опираясь о барьер, бросает горизонтально ка- мень массой m = 1 кг со скоростью v0 = 5 м/с. Какую скорость он может сообщить камню, если будет бросать его горизонтально, стоя на коньках на гладком льду? Масса мальчика М = 49 кг. В обоих случаях при бросании мальчик совершает одну и ту же работу.
14.2. Два бруска массами m_{1} = 1 кг и m_{2} = 2 кг, находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности, соединены сжатой пружиной. Определить максимальные скорости брусков после освобождения пружины. Жесткость пружины к = 200 Н/м, ее начальная деформация DeltaL_{0} = 2 см

14.3. Два шарика равной массы движутся навстречу друг другу по горизонтальной поверхности. Скорость одного из шариков в n = 3 раза больше скорости другого. Во сколько раз изменится ме- ханическая энергия шариков после их центрального абсолютно не- упругого столкновения?

14.4. В брусок массой М, лежащий на горизонтальной поверх- ности, попадает пуля массой т и застревает в нем. Скорость пули направлена горизонтально и равна Ѵ0. Какой путь пройдет брусок до остановки, если коэффициент трения между ним и поверхностью равен u?

14.5. На нити длиной L = 2 м висит небольшой ящик с песком массой M = 2 кг. Пуля, летящая горизонтально, попадает в ящик и застревает в нем. При этом максимальный угол отклонения нити от вертикали равен alpha = 30 deg. Определить скорость пули, если ее масса m = 10г. Размеры ящика много меньше длины нити.

14.6. Тело массой M = 0,1 кг, способное двигаться без трения по гори- зонтальному стержню, закреплено на легкой пружине жестко- стью к = 103 Н/м. В тело попадает пуля массой m = 10г двигавшаяся со скоро- стью v_{0} = 100 м/c под углом alpha = 60 deg к оси стержня застревает в нем. Опре- делить величину наибольшей деформации пружины

### 14.1. Бросок камня Когда мальчик бросает камень, он совершает работу, которая равна изменению его кинетической энергии. Используем закон сохранения импульса. 1. **Начальная скорость камня (v₀)** = 5 м/с, масса камня (m) = 1 кг. 2. **Масса мальчика** (M) = 49 кг. 3. **Импульс до броска**: M * 0 + m * v₀ = 1 кг * 5 м/с = 5 кг·м/с. 4. **При бросании мальчик на коньках**: Поскольку система должна сохранять импульс, имеем: \[ 0 = M * V + m * v \] где V — скорость мальчика после броска, а v — скорость камня, которую мы ищем. 5. Подставляем: \[ 49V + 1v = 0 \implies V = -\frac{1}{49}v \] Теперь находим работу, совершенную мальчиком через его изменение кинетической энергии: 1. Работа будет равна ΔKE: \[ \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2 - 0 = \frac{1}{2} (1) v^2 \] 2. Кинетическая энергия мальчика: \[ \Delta KE_{boy} = \frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} \cdot 49 \left(-\frac{1}{49}v\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 49 \cdot \frac{1}{2401}v^2 = \frac{49}{4802}v^2 \] Приравняем работу мальчика к работе камня: \[ \frac{49}{4802}v^2 = \frac{1}{2}v^2 \] Упрощаем уравнение: \[ \frac{49}{2401} = \frac{1}{2} \implies v^2 = 49 \] Таким образом, решая уравнение, получим: \[ v = 7 м/с \] ### 14.2. Максимальная скорость брусков после освобождения пружины 1. Используем закон сохранения энергии. 2. Начальная потенциальная энергия пружины: \[ PE = \frac{1}{2} k \Delta L^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0.02)^2 = 0.04 Дж \] 3. После освобождения энергии равномерно распределяется между брусками: \[ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = 0.04 \] где \(v_2 = \frac{n}{m_2/m_1}v_1\). Используем массу: \(m_2 = 2m_1\). 4. Заменяем: \[ \frac{1}{2} (1)v_1^2 + \frac{1}{2} (2)\left(\frac{v_1}{2}\right)^2 = 0.04 \] 5. Решаем уравнение: \[ \frac{1}{2} v_1^2 + \frac{1}{4} v_1^2 = 0.04 \implies \frac{3}{4} v_1^2 = 0.04 \implies v_1^2 = \frac{0.04 \cdot 4}{3} \implies v_1^2 = 0.0533 \] Получаем \(v_1 \approx 0.23 м/с\) и \(v_2 = 0.23 \cdot 2 \approx 0.46 м/с\). ### 14.3. Изменение механической энергии после столкновения 1. Если один шарик движется со скоростью v, а другой со скоростью 3v: \[ E_{kinetic_{before}} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m (3v)^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{9}{2} m v^2 = 5 m v^2 \] 2. В абсолютно неупругом столкновении два шарика после сталкивания двигутся с общей скоростью: \[ V = \frac{m v + 3m v}{2m} = 2v \] 3. Общая кинетическая энергия после столкновения: \[ E_{kinetic_{after}} = 2 \cdot \frac{1}{2} (2m) V^2 = \frac{2}{2} (2m) (2v)^2 = 4 m v^2 \] 4. Изменение энергии: \[ \Delta E = E_{kinetic_{before}} - E_{kinetic_{after}} = 5 mv^2 - 4 mv^2 = mv^2 \] ### 14.4. Пуля и брусок 1. Начальная скорость пули \(V_0\). 2. Используем закон сохранения импульса: \[ mv_0 = (M+m)V \] 3. Поскольку брусок замедляется за счет трения, его путь можно найти через: \[ F_{friction} = u (M+m)g \implies a = -\frac{u (M+m) g}{M+m} \] 4. Устанавливаем уравнение движения для бруска: \[ v^2 = V^2 + 2aS \rightarrow 0 = V^2 - 2\frac{u (M+m) g}{M+m}S \] 5. Решаем уравнение для S. ### 14.5. Пуля и ящик 1. Используем закон сохранения импульса: \[ mv_{pulse} = (M + m)V \] 2. Максимальный угол отклонения ящика: \[ \sin(30^\circ) = \frac{V^2}{g(L + L\sin(30^\circ))} \] 3. Устанавливаем уравнения и находим скорость пули. ### 14.6. Пуля и пружина 1. При попадании пули в тело: \[ mv_0 = (M+m)V \] 2. Работа с пружиной равна: \[ \frac{1}{2}k x^2 (x - максимальная деформация) \] Подставляем и решаем с использованием \(V\). Эти примеры обеспечивают понятное объяснение каждого вычисления, используя физические принципы и законы.