Показать ответ
2 👍
Free Подробный ответ от Mozg.AI
Давайте решим задачу шаг за шагом.
**Дано:**
- Длина отрезка \( AB = 15 \) см.
- Длина отрезка \( AC = 20 \) см.
- Проекции похилих на плоскость \(\alpha\) относятся как \( 9:16 \).
**Обозначим:**
- \( h \) — расстояние от точки \( A \) до плоскости \(\alpha\) (высота).
- \( x_1 \) — проекция отрезка \( AB \) на плоскость \(\alpha\).
- \( x_2 \) — проекция отрезка \( AC \) на плоскость \(\alpha\).
**Соотношение проекций:**
По условию задачи, проекции \( x_1 \) и \( x_2 \) относятся как \( 9:16 \):
\[
\frac{x_1}{x_2} = \frac{9}{16}
\]
Это можно записать как:
\[
x_1 = \frac{9}{16} x_2
\]
**Используем теорему Пифагора:**
Для отрезка \( AB \):
\[
AB^2 = x_1^2 + h^2 \quad \text{или} \quad 15^2 = x_1^2 + h^2
\]
Для отрезка \( AC \):
\[
AC^2 = x_2^2 + h^2 \quad \text{или} \quad 20^2 = x_2^2 + h^2
\]
Запишем эти уравнения:
1. \( 225 = x_1^2 + h^2 \) (1)
2. \( 400 = x_2^2 + h^2 \) (2)
Теперь подставим соотношение \( x_1 = \frac{9}{16} x_2 \) в уравнение (1):
\[
225 = \left(\frac{9}{16} x_2\right)^2 + h^2
\]
Раскроем скобки:
\[
225 = \frac{81}{256} x_2^2 + h^2 \quad \text{(3)}
\]
Теперь у нас есть два уравнения: (2) и (3). Из уравнения (2) выразим \( h^2 \):
\[
h^2 = 400 - x_2^2
\]
Заменим \( h^2 \) в уравнении (3):
\[
225 = \frac{81}{256} x_2^2 + (400 - x_2^2)
\]
Объединим:
\[
225 = 400 - x_2^2 + \frac{81}{256} x_2^2
\]
Соберем все \( x_2^2 \) влево и константы вправо:
\[
x_2^2 - \frac{81}{256} x_2^2 = 400 - 225
\]
\[
x_2^2 \left( 1 - \frac{81}{256} \right) = 175
\]
\[
x_2^2 \left( \frac{256 - 81}{256} \right) = 175
\]
\[
x_2^2 \left( \frac{175}{256} \right) = 175
\]
Умножим обе стороны на \(\frac{256}{175}\):
\[
x_2^2 = 256
\]
Следовательно,
\[
x_2 = 16 \quad \text{(проекция \( AC \))}
\]
Теперь подставим \( x_2 = 16 \) в уравнение (2):
\[
400 = 16^2 + h^2
\]
\[
400 = 256 + h^2
\]
\[
h^2 = 400 - 256 = 144
\]
\[
h = \sqrt{144} = 12 \text{ см}
\]
**Ответ:**
Расстояние от точки \( A \) до плоскости \(\alpha\) равно \( 12 \) см.
8
Задай свой вопрос