Камень бросили вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. На какой высоте его кинетическая энергия будет в 3 раза больше потенциальной, если максимальная высота подъема камня составила 20 м? Сопротивлением воздуха пренебречь

Для решения задачи используем формулы кинетической и потенциальной энергии. 1. **Определяем максимальную высоту и связанные с ней энергийные значения:** - Максимальная высота, на которую поднимется камень, составляет 20 м. - Потенциальная энергия (PE) на максимальной высоте рассчитывается по формуле: \[ PE = m \cdot g \cdot h \] где \(m\) — масса камня, \(g\) — ускорение свободного падения (примерно 9,81 м/с²), а \(h\) — высота (20 м). - При максимальной высоте вся энергия будет потенциальной. 2. **Рассчитываем потенциальную энергию на максимальной высоте:** Пусть масса камня \(m = 1\) кг (для простоты расчетов): \[ PE_{\text{max}} = 1 \cdot 9,81 \cdot 20 = 196,2 \text{ Дж} \] 3. **Кинетическая энергия (KE) на высоте, где она в 3 раза больше потенциальной:** По условию, требуется найти высоту, на которой кинетическая энергия будет в 3 раза больше потенциальной. Это означает, что: \[ KE = 3 \cdot PE \] Обозначим высоту, на которой требуется найти соотношения, как \(h_1\). 4. **Записываем формулы для энергии на высоте \(h_1\):** Потенциальная энергия на высоте \(h_1\): \[ PE = m \cdot g \cdot h_1 \] Кинетическая энергия на этой высоте: \[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \] 5. **Или, согласно условию задачи:** \[ \frac{1}{2} m v^2 = 3 \cdot (m \cdot g \cdot h_1) \] 6. **Разделим обе части уравнения на массу \(m\):** \[ \frac{1}{2} v^2 = 3 \cdot g \cdot h_1 \] 7. **Найдем скорость \(v\) в момент вхождения в эту высоту \(h_1\):** Зная, что полная механическая энергия сохраняется, можем записать: \[ m \cdot g \cdot 20 = \frac{1}{2} m v^2 + m \cdot g \cdot h_1 \] Упрощая, убираем \(m\): \[ 9.81 \cdot 20 = \frac{1}{2} v^2 + 9.81 \cdot h_1 \] Подставляем \(PE_{\text{max}} = 196.2\) Дж: \[ 196.2 = \frac{1}{2} v^2 + 9.81 \cdot h_1 \] 8. **Снова подставляем \(v^2\) из уравнения с кинетической энергией:** \[ v^2 = 6 \cdot g \cdot h_1 \] Подставим это значение в уравнение, где мы нашли полную механическую энергию: \[ 196.2 = 3 \cdot g \cdot h_1 + 9.81 \cdot h_1 \] Теперь упрощаем: \[ 196.2 = (3 \cdot 9.81 + 9.81) \cdot h_1 \] \[ 196.2 = 39.24 \cdot h_1 \] 9. **Решим уравнение для \(h_1\):** \[ h_1 = \frac{196.2}{39.24} \approx 5.0 \text{ м} \] Таким образом, высота, на которой кинетическая энергия камня будет в 3 раза больше потенциальной, составляет примерно **5 метров**.