Вычислить дюрацию Маколея и модифицированную дюрацию облигации, заданной параметрами: m = 4 года, с = 8%, F = 100 долл., v = 1 при исходном уровне требуемой доходности io = 10%. Найти по дюра- ции Маколея приближенную оценку изменения цены облигации при снижении рыночной ставки на 5 б.п. (базисных пунктов).

Для решения этой задачи нам понадобится формула для вычисления дюрации Маколея: \[ MacD = -\frac{1}{P} \frac{dP}{di} \] где P - цена облигации, а di - изменение доходности. Шаг 1: Найдем дюрацию Маколея для данной облигации. \[ P = \frac{C}{i} \left(1 - \left(\frac{1}{1+i}\right)^m\right) + \frac{F}{(1+i)^m} \] Подставляем значения: C = 8%, m = 4 года, F = 100 долл., i = 10%. \[ P = \frac{8}{0.1} \left(1 - \left(\frac{1}{1+0.1}\right)^4\right) + \frac{100}{(1+0.1)^4} \] \[ P = 80(1 - 0.6830) + \frac{100}{1.4641} \] \[ P = 24 + 68.27 \] \[ P = 92.27 \] Теперь найдем производную цены облигации по доходности i: \[ \frac{dP}{di} = \frac{-C}{i^2} \left(1 - \frac{m}{(1+i)^{m+1}}\right) - \frac{F \cdot m}{(1+i)^{m+1}} \] Подставляем значения: C = 8%, m = 4 года, F = 100 долл., i = 10%. \[ \frac{dP}{di} = \frac{-8}{0.1^2} \left(1 - \frac{4}{(1+0.1)^5}\right) - \frac{100 \cdot 4}{(1+0.1)^5} \] \[ \frac{dP}{di} = -80 \left(1 - \frac{4}{1.6105}\right) - \frac{400}{1.6105} \] \[ \frac{dP}{di} = -80 \cdot 0.752 \approx -60.23 \] Теперь можем вычислить дюрацию Маколея: \[ MacD = -\frac{1}{92.27} \cdot (-60.23) \approx 0.65 \] Шаг 2: Теперь найдем изменение цены облигации при снижении рыночной ставки на 5 базисных пунктов. \[ Change in Price = -MacD \cdot di \] Подставляем известные значения: MacD = 0.65, di = 0.05%. \[ Change in Price = -0.65 \cdot 0.0005 \] \[ Change in Price = -0.000325 \] Ответ: Приближенное изменение цены облигации при снижении рыночной ставки на 5 базисных пунктов составляет примерно -0.000325 доллара.